Unique normal forms for the Takens–Bogdanov singularity in a special case

We consider further reduction of normal forms for nilpotent planar vector fields. We give a unique normal form for a special case of an open problem for the Takens–Bogdanov singularity.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Unicité des formes normales pour la singularité de Takens–Bogdanov dans un cas particulier Résumé. On étudie l’unicité des formes normales des champs de vecteurs nilpotents. On donne une réponse dans un cas particulier d’un problème ouvert pour la singularité de Takens– Bogdanov.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Nous considérons des champs de vecteurs en dimension 2 avec une singularité à l’origine et une partie linéaire nilpotente non nulle. Nous écrirons X(x, y) = y∂x + · · ·, où ∂x = ∂ ∂x , ∂y = ∂ ∂y et les pointillés représentent des termes de degrés supérieurs ou égaux à 2. On sait (voir [3,4,6]) qu’une forme normale classique de X peut être choisie sous la forme : F (x, y) = y∂x + ∞ ∑ j=1 ( αjx j+1 + βjx y ) ∂y. Soient μ = inf{j : αj = 0} et ν = inf{j : βj = 0}. Les réductions supplémentaires des formes normales ou leur unicité sont très différentes dans les trois cas suivants (voir [1]) : μ < 2ν, μ > 2ν ou μ = 2ν. Dans [1] l’unicité des formes normales est étudiée pour les champs de vecteurs de la seconde catégorie et, pour certains cas, de la première catégorie. Le problème d’unicité des formes normales pour le cas où ν ≡ 0 (mod μ+2) dans la première catégorie, est toujour ouvert. Note présentée par Bernard MALGRANGE. S0764-4442(01)01869-9/FLA  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 551